二重振り子

注意：これは claude-3.5-sonnet を使って作成したサンプルページです。

二重振り子は、単振り子を 2 つ連結した系で、非線形力学系の代表的な例です。初期条件のわずかな違いが大きな違いを生む「カオス」の性質を示します。

運動方程式の導出

二重振り子の運動方程式は、ラグランジュ方程式を用いて導出できます。

1. 座標系の設定

まず、以下のパラメータを定義します：

$\theta_1, \theta_2$ : それぞれの振り子の鉛直方向からの角度
$l_1, l_2$ : それぞれの振り子の長さ
$m_1, m_2$ : それぞれの振り子の質量
$g$ : 重力加速度

図1: 二重振り子

2. 運動エネルギー $T$ の計算

第 $1$ 質点と第 2 質点の位置座標は：

\begin{align} x_1 &= l_1\sin\theta_1 \\ y_1 &= l_1\cos\theta_1 \\ x_2 &= l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2 \\ y_2 &= l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2 \end{align}

これらを時間微分して速度を求めます。まず、第 1 質点の速度成分は：

\begin{align} \dot{x_1} &= l_1\dot{\theta_1}\cos\theta_1 \\ \dot{y_1} &= -l_1\dot{\theta_1}\sin\theta_1 \end{align}

第 2 質点の速度成分は：

\begin{align} \dot{x_2} &= l_1\dot{\theta_1}\cos\theta_1 + l_2\dot{\theta_2}\cos\theta_2 \\ \dot{y_2} &= -l_1\dot{\theta_1}\sin\theta_1 - l_2\dot{\theta_2}\sin\theta_2 \end{align}

これらの速度成分を用いて、運動エネルギーを計算します：

\begin{align} T &= \frac{1}{2}m_1(\dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2) + \frac{1}{2}m_2(\dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2) \\ &= \frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2}m_2\left[l_1^2\dot{\theta_1}^2 + l_2^2\dot{\theta_2}^2 + 2l_1l_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)\right] \end{align}

3. 位置エネルギー $V$ の計算

重力による位置エネルギーは：

V = m_1gl_1\cos\theta_1 + m_2g(l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2)

4. ラグランジアン $L$ の計算

ラグランジアンは運動エネルギーと位置エネルギーの差で与えられます。具体的には：

\begin{align} L &= T - V \\ &= \frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2}m_2\left[l_1^2\dot{\theta_1}^2 + l_2^2\dot{\theta_2}^2 + 2l_1l_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)\right] \\ &\quad - \left[m_1gl_1\cos\theta_1 + m_2g(l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2)\right] \end{align}

5. ラグランジュ方程式の適用

ラグランジュ方程式：

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_i}} - \frac{\partial L}{\partial \theta_i} = 0 \quad (i = 1, 2)

これを具体的に計算します。まず、 $\theta_1$ について：

\begin{align} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}} &= (m_1 + m_2)l_1^2\dot{\theta_1} + m_2l_1l_2\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2) \\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}} &= (m_1 + m_2)l_1^2\ddot{\theta_1} + m_2l_1l_2\ddot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2) \\ &\quad - m_2l_1l_2\dot{\theta_2}(\dot{\theta_1}-\dot{\theta_2})\sin(\theta_1-\theta_2) \\ \frac{\partial L}{\partial \theta_1} &= -m_2l_1l_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\sin(\theta_1-\theta_2) - (m_1 + m_2)gl_1\sin\theta_1 \end{align}

次に、 $\theta_2$ について：

\begin{align} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}} &= m_2l_2^2\dot{\theta_2} + m_2l_1l_2\dot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2) \\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}} &= m_2l_2^2\ddot{\theta_2} + m_2l_1l_2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2) \\ &\quad - m_2l_1l_2\dot{\theta_1}(\dot{\theta_1}-\dot{\theta_2})\sin(\theta_1-\theta_2) \\ \frac{\partial L}{\partial \theta_2} &= m_2l_1l_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\sin(\theta_1-\theta_2) - m_2gl_2\sin\theta_2 \end{align}

これらの計算結果をラグランジュ方程式に代入し整理すると、最終的に以下の連立微分方程式が得られます：

\begin{align} (m_1 + m_2)l_1^2\ddot{\theta_1} + m_2l_1l_2\ddot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2) + m_2l_1l_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2) + (m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1 &= 0 \\ m_2l_2^2\ddot{\theta_2} + m_2l_1l_2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2) - m_2l_1l_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_1-\theta_2) + m_2gl_2\sin\theta_2 &= 0 \end{align}

シミュレーション

以下のシミュレーションでは、この運動方程式を数値的に解いています。Runge-Kutta 法を用いて高精度な数値積分を行い、系の時間発展を計算しています。

重力加速度 g (m/s²)

9.81 m/s²

第1振り子の長さ l₁ (m)

1.00 m

第2振り子の長さ l₂ (m)

1.00 m

第1振り子の質量 m₁ (kg)

1.00 kg

第2振り子の質量 m₂ (kg)

1.00 kg

第1振り子の初期角度 θ₁ (rad)

0.79 rad (45.0°)

第2振り子の初期角度 θ₂ (rad)

0.79 rad (45.0°)

カオス的振る舞い

二重振り子の特徴的な性質は、その運動がカオス的であることです。これは以下のような特徴として現れます：

初期条件敏感性
- わずかな初期条件の違いが、時間とともに大きく異なる運動を生み出す
- 長期的な運動の予測が実質的に不可能
非周期性
- 単振り子と異なり、周期的な運動にならない
- 複雑で予測不可能なパターンを示す
エネルギー分配
- 2 つの振り子の間でエネルギーが複雑に交換される
- 運動エネルギーと位置エネルギーが非線形に変化

まとめ

二重振り子は、単純な構造ながら複雑な振る舞いを示す典型的な非線形系です。このシミュレーションを通じて：

カオス的な運動の特徴
非線形系の基本的な性質
初期条件敏感性の意味
エネルギーの非線形的な振る舞い

について、直感的な理解を深めることができます。